Memo_The Age Separating Early Deaths from Late Deaths

Zhang Z., Vaupel J., 2009, “The Age Separating Early Deaths from Late Deaths”, Demographic Research, 20, 721—730.
张震与Vaupel在这篇论文中发展了$e^{\dagger}(t)$是否存在一个年龄阈值，在理论上可以讨论死亡率的压缩与扩大，以及讨论过早死亡（Premature Deaths）与过晚死亡（Late Deaths）的问题。后续Aburto等人进一步将根据$e^{\dagger}(t)$计算的年龄阈值视为绝对年龄阈值，将根据$\bar{H}(t)$计算的年龄阈值视为相对年龄阈值，将二者之间的关系在数理形式上予以进一步的确定。
本篇论文年龄阈值$a^{\dagger}$、以及后续$a^{H}$，均可以通过Aburto等人（2019)的R代码进行复现，并在中国社会中进行实证应用，这一指标很好理解，且具有很好的数学性质，但目前国内学术界仅张震在全国层面使用，因此，省一级的讨论可以进行便捷且必要的拓展。

一、数理人口学的基础公式

在对该论文贡献及其后续进展作理解前，有必要扼要介绍已有数理人口学家们已经推导了生存函数的熵，即反映函数$l(a)$形状的常数$\bar{H}$，其公式如下。这个公式连接了生命表熵与寿命不均两个关键指标。

$$\bar{H}(t)=-\frac{\int_0^\omega[\ln l(a,t)] \cdot l(a,t) \mathrm{d} a}{\int_0^\omega l(a,t) \mathrm{d} a}=\int_0^{\infty} c(a, t) H(a, t) d a=\frac{e^{\dagger}(t)}{e_o(t)}$$

(1) $e^{\dagger}(t)=-{\int_0^\omega[\ln l(a,t)] \cdot l(a,t) \mathrm{d} a}$是Vaupel与Canudas Romo（2003）年界定的，由于死亡造成的寿命不均（Life Disparity）或寿命损失（Number of Life-years Lost as a Result of Death），可以被认为是成员年龄分布的离散情况。
(2) $e_o(t)={\int_0^\omega l(a,t) \mathrm{d} a}$即t时刻出生时的预期寿命。
(3) $c(a, t)=\frac{l(a, t)}{\int_0^{\infty} l(x, t) d x}$是人口年龄结构。
(4) $H(a, t)=\int_0^a \mu(x, t) d x$是到年龄a的累积风险，$H(0, t)=0$，其中$\mu(x, t)$是死亡力（或者说x岁的死亡率）。

随后，根据下式，$e^{\dagger}(t)$被证明可以进一步推导为（2）式。

(1) $e(a, t)=\frac{\int_a^{\infty} l(x, t) d x}{l(a, t)}$是t时刻、a岁的剩余预期寿命。
(2) $d(a,t)=l(a,t)\mu(a,t)$是死亡人数的分布，或者说在t时刻、a岁死亡的人数，$d(a,t)$有时也被写成$f(a,t)$，其中$l(a, t)=e^{-\int_0^a \mu(x, t) d x}$是存活至a岁的概率，且$l(0,t)=1$

$$e^{\dagger}(t)=\int_0^{\infty} d(a, t) e(a, t) d a$$

二、$e^{\dagger}(t)$年龄阈值$a^{\dagger}$的公式

如上所述，通过上式及相应变换，就可以得到a岁死亡率下降时，$e^{\dagger}(a,t)$与$\bar{H}(a,t)$的变动情况。其中，张震与Vaupel在这论文中将𝑒†(𝑡)的变动总结为下式。

$$k(a)=\left.\frac{1}{\ell(a)} \frac{d e_s^{\dagger}}{d s}\right|_{s=0}=e^{\dagger}(a)+e(a)(H(a)-1)$$

其证明了，其一，如果$\bar{H}(t)<1$则$K(0)<0$，且存在一个$a^{\dagger}>0$使$K(0)>0$且$a>a^{\dagger}$或$K(0)<0$且$a<a^{\dagger}$。当$a=a^{\dagger}$，可以计算出一个阈值年龄。Aburto等人亦将之总结为$H\left(a^H\right)+\bar{H}\left(a^H\right)=1$。在阈值年龄下的变动会减少寿命不均，在阈值年龄上的变动会增加寿命不均。或者说，如按阈值年龄分界，可以分解为年轻人死亡率的压缩、老年人死亡率的扩大，这两个部分的平衡决定了人口死亡率是压缩还是扩大。当限定在$e^{\dagger}(0)$时，也可以理解为阈值年龄前的早期死亡率、阈值年龄后的晚期死亡率，分别对$e(0)$的贡献。
其二，如果$\bar{H}(t)=1$则$K(0)=0$，0岁时任何变动不增加寿命不均，其余年龄变动均增加寿命不均。
其三，如果$\bar{H}(t)>1$则$K>0$，任何年龄变动均增加寿命不均。
事实上，张震与Vaupel通过对HMD 2009年中1840年以来5830张生命表、人类生命表数据库（Human Life-Table Database）2009年中3403张生命表的汇总计算发现，所有人类生命表均是$\bar{H}(t)<1$、$k(0)<0$。当然，其他物种的$\bar{H}(t)$有可能会大于1。

三、$\bar{H}(t)$年龄阈值$a^{H}$的公式

仍然通过第一部分提及的基础公式，Aburto等人推导了$a^{H}$的公式如下，不再具体赘述。

$$H\left(a^H\right)+\bar{H}\left(a^H\right)=1+\bar{H}$$

$a^{\dagger}$与$a^{H}$相比，主要在于前者没有强假定，后者假定了死亡率遵循Gompertzian定律。具体而言，$a^{\dagger}$值始终低于$e_0$，尤其在早期人类社会，由于婴幼儿死亡率很高，$a^{\dagger}$始终也处于低值，基本随着$e_0$的抬升一并抬升；$a^{H}$则在1950年代以前一直高于$e_0$，且二者差异很大，直到最近二、三十年，才开始低于$e_0$。二者的差异表明$a^{\dagger}$作为绝对指标与$a^{H}$作为相对指标，但随着现代死亡率年龄模式大致遵循Gompertzian，二者事实上均反映了老龄化趋势下的高$e_0$的现代社会情况。

参考文献

[1] Vaupel J.W., Canudas Romo V., 2003, “Decomposing change in life Expectancy: A Bouquet of Formulas in Honor of Nathan Keyfitz’s 90th Birthday”, Demography, 40(2), 201—216.
[2] Aburto J.M., Alvarez-Martínez J.-A., Villavicencio F., et al., 2019, “The Threshold Age of the Lifetable Entropy”, Demographic Research, 41, 83—102.